I- Indépendance linéaire, bases
définition 1.1.1
un espace vectoriels \(E\) sur un corps \(K\) (on dit aussi un
\(K\)-espace vectoriel ) est un groupe abélien additif muni d'une
loi de composition externe \( ( \lambda , x) \mapsto \lambda.x \) de
\(K \times E \) dans \(E \) possédant les propriétés suivantes:
1 - \( (\lambda + \mu).x = \lambda.x + \mu.x \) avec \(\forall x \in
E, \forall\lambda \in K, \forall \mu \in K,\)
2 -\( (\lambda + \mu).x = \lambda.x + \mu.x \)
\(\forall x \in E, \forall\lambda \in K, \forall \mu \in K,\)
3 - \( \lambda.(\mu.x) = (\lambda\mu).x \) avec \( \forall x \in E,
\forall \lambda \in K, \forall \mu \in K \)
4 - \(\lambda.(x + y) = \lambda.x + \lambda.y \) avec \( \forall x
\in E ,\forall y \in E , \forall \lambda \in K \)
5 - \(1.x = x\) avece \(\forall x \in E\)
On écrira \(\lambda x\) au lieu de \(\lambda.x\) si aucune confusion
n'est à crainde. On a l'importante notion de sous-espace vectoriel.
définition 1.1.2
On dit qu'une partie non vide \(F\) d'un \(K\)-espace vectoriel
\(E\)
1 - \( x + y \in F \) avec \(\forall x \in F, \forall y \in F\).
2 - \( \lambda x \in F \) avece \( \forall \lambda \in K \forall \in
F \)
Il est clair que si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\)
alors \(F\) est lui-même un \(K\)-espace vectoriel pour la
restriction à \(F\) de l'addition de \(E\) et du produit d'un
élément de \(E\) par un élément de \(K\). De plus pour qu'une partie
non vide \(F\) de \(E\) soit un sous-espace vectoriel de \(E\) il
faut et il suffit que l'on ait: $$ (1.1) \lambda x + \mu y \in F
avec \forall \lambda \in K, \forall \mu \in K, x \in F y \in F $$ Un
récurrence immédiate montre que l'on a alors la propriété suivante:
$$ (1.2) \sum_{j=0}^{n} \lambda_j x_j \in F \forall n \ge 1, \forall
x_1,...,x_n \in F, \forall \lambda_1,...,\lambda_n \in K. $$ D'autre
part il est clair que l'on a la propriété suivante:
proposition 1.1.3
Soit \( (E_i)_{i \in I} \) une famille quelconque de sous-espaces
vectoriels d'un
espace vectoriel \(E\). Alors \( \cap_{i\in I}E_i \)
est un sous-espace vectoriel de \(E\).
corollaire 1.1.4
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) et soit \(A\) une
partie non vide de \(E\), Alors l'intersction de tous les
sous-espaces vectoriels de \(E\) contenant \(A\) est un sous-espace
vectoriel de \(E\) contenant \(A\), qui est appelé le sous- espace
vectoriel de \(E\) contenant \(A\), qui est appelé le sous-espace
vectoriel de \(E\) engendré par \(A\), et qui est noté \(Vect(A) \).
Définition 1.1.5
1- On dit qu'une famille \( (e_1,...,e_k) \) déléments d'un
\(K\)-espace vectoriel \(E\) est libre (ou que les vecteur \(
e_1,...,e_k \) sont linéairement indépendants) si in a la condition
suivante; $$ (1.3) \lambda_{1}e_{1} + ...\lambda_{k}e_{k} = 0
\implies \lambda_i = 0, \forall i \le k. $$
2- On dit qu'une famille \( (e_1,...,e_k) \) déléments d'un
\(K\)-espace vectoriel \(E\) est génératrice si pour tout \(x \in
E\) il existe \(\lambda_1,...,\lambda_k \in K \) tels que \(x =
\lambda_1e_1 + ... + \lambda_ke_k\).
3- On dit qu'une famille \( (e_1,...,e_k) \) d'éléments d'un
\(K\)-espace vectoriel \(E\) est une base de \(E\) si elle est à la
fois libre et génératrice.
On dit qu'un \(K\)-espace vectoriel \(E \neq {0} \) est de dimension
finie s'il existe une famille finie d'éléments de \(E\) qui est une
base de \(E\). On a le résultat fondamental suivant.
théorème 1.1.6
1- pour qu'un \(K\)-espace vectoriel \(E \neq \{0\} \) soit de
dimension finie il faut et il suffit qu'il possède une famille
génératrice finie. Dans ce cas toutes les bases de \(E\) ont le même
nombre d'éléments, et ce nombre est appelé la dimension de \(E\).
2- si \(dim(E) = n\), et si \( (f_1, ..., f_k ) \) est une famille
génératrice d'éléments de \(E\) alors \( k \ge n \), si \( k = n \),
alors \( (f_1, ..., f_k) \) est une base de \(E\), si \( k > n \),
alors il existe une suite strictement croissante \(i_1,...,i_n\)
d'entiers inférieurs ou égaux é à \(k\) tels que \( (f_{i_1}, ...,
f_{i_n}) \) soit une base de \(E\).
3- si \(dim(E)= n\). et si \( (e_1, ...,e_n ) \) est une famille
libre d'éléments de \(E\) alors \(p \le n \), si \(p = n \), alors
\( (e_1, ..., e_p ) \) est une base de \(E\), si \(p < n\), alors il
existe une famille \( (e_{p+1}, ..., e_n) \) de \( n - p\) éléments
de \(E\) telle que \( (e_1,...,e_p,e_{p+1},...,e_n ) \) soit une
base de \(E\) ("théorème de la base incompléte").
on dira par convention que l'espace vectoriel réduit à \( \{0\} \)
est de dimension nulle.
corollaire 1.1.7
soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et soit \(F\) un
sous espace vectoriel de \(E\). Alors \(F\) est de dimension finie,
et \( dimF \le dimE \), si on a \(dim F = dim E \), alors \(E = F\).
Démonstration: Si \(F = \{0\} \) il n'y arien à démontrer. Sinon
toute famille libre d'élèments de \(F\) possède au plus \(n\)
élèments, oû \(n = dim(E) \). soit \(p\) le plus grand entier pour
lequel il existe une famille libre \( (e_1, ..., e_p) \) de \(p\)
élèments de \(F\). On a \( p \le n\). Soit \(x \in F\). Comme la
famille (\(e_1, ..., e_p, x\)) n'est pas libre, il existe une
famille (\(\lambda_1, ...,\lambda_{p+1} \)) d'éléments non tous nuls
de \(K\) telle que \(\lambda_1e_1 + ...+ \lambda_pe_p +
\lambda_{p+1}x = 0\). On a \(\lambda_{p+1} \neq 0\), car sinon
\(\lambda_1, ...,\lambda_p\) seraient également tous nuls puisque
(\(e_1, ...,e_p\)) est libre. On obtient \[x = \sum_{j=1}^{p} -
\frac{\lambda_{p+1} }{\lambda_j} e_j \] Ceci montre que (\(e_1, ...,
e_p\)) est génératrice. C'est donc une base de \(F\). donc \(F\) est
de dimension finie, et \(dim(F) = p \le n = dim(E) \).
Si \(dim(F) = dim(E)\), soit \(\mathfrak{B}\) une base de \(F\).
Alors \(\mathfrak{B}\) est une base de \(E\), donc \(E=F\).
Exelmple 1.1.8
1- Soit \(K\) un corps. On munit l'ensemble \(K^n\) des familles
(\(x_1, ...,x_n\)) de \(n\) éléments de \(K\) des opérations
suivantes - \( (x_1, ..., x_n) + (y_1, ..., y_n) = (x_1 + y_1, ...,
x_1 + y_1, ... , x_n + y_n) \), \( \forall (x_1, ..., x_n) \in k^n
\)
- \(\lambda(x_1, ...,x_n) = (\lambda x_1, ..., \lambda x_n) \)
- Posons \(e_i = (\delta_{i,j})_{1\le i\le n}\). On vérifie
facilemnt qu \(K^n\) est un \(K\)-espace vectoriel de dimension
\(n\) et que (\(e_1, ..., e_n\)) est une base de \(K^n\).
2- le plan vectoriel du lycée est un espace vectoriel réel de
deimension 2, et l'espace vectoriel du lycée est un eespace
vectoriel réel de dimension 3.
3- muni des opérations usuelles, \(\Bbb{C}\) est un espace vectoriel
réel de dimension 2, et (\(1,i\)) est une base de \(\Bbb{C}\).
4- l'espace \(K[x]\) des polynômes sur un corps \(K\) est un
\(K\)-espace vectoriel pour les opérations usuelles. Il n'est pas de
dimension finie.
5- pour \(n\ge 0\), l'espace \(K_{n}[x] \).
II- Théorème de la dimension pour la somme de deux espaces vectoriels
Définition 1.2.1
soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d'un espace
vectoriel \(E\). On pose \(F + G = \{x + y\}_{x\in F, y\in G} \).
On a alors la théorème suivant.
Théorème 1.2.2
soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de dimension
finie d'un espace vectoriel \(E\). Alors \(dim(F+G) = dim(F) +
dim(G) - dim(F\cap G) \)
On dit que \(F\) et \(G\) sont en somme directe si \(F\cap G = \{0\}
\). Dans ce cas tout \(x\in F + G\) s'ecrit de manière unique sous
la forme \(x = y + z\), avec \(y\in F\), \(z\in G\).
Dans cette situation on écrit \(F\oplus G\) au lieu de \(F + G\)
Exemple 1.2.3
on considère l'espace vectoriel \(\Bbb{R}_{2}[X]\) des polynômes à
coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On pose \(E = \{p
\in \Bbb{R}_2[x] | p(2)=0 \} \) et \(F = \{p \in R_2[x] | p(1) =
p(-1) = 0 \} \). Alors \(E\) et \(F\) sont deux sous-espaces
vectoriels de \(\Bbb(R)_2[x]\), et \(\Bbb{R}_2[x] = E \oplus F \).
En effet pour \(p, q \in E, \lambda, \mu \in \Bbb{R} \) on a
\((\lambda p + \mu q)(2) = \lambda p (2) + \mu q (2) = 0 \), donc
\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(R_2[X] \).
Soit \(p\in E \cap F \). On a \(p(-1) = p(1) = p(2) = 0\). Comme un
polynôme non nul de degé inférieur ou égal à 2 posséde la somme
directe \( E \oplus F \).
Poson \(u = x - 2, v = x(x - 2)\). On a \(u \in E\) et \(v \in E \).
Si \(\lambda\in \Bbb{R}, \mu\in \Bbb{R} \), et si \(\lambda u + \mu
v = 0 \) alors \((\lambda + \mu x)(x - 2)\), donc \(\lambda + \mu x
= 0\) et \(\lambda = \mu = 0\). Donc la famille \( \{u,v\} \) est
libre.
si \(p \in E\), alors \(p\) est divisible par \(x-2\) et il existe
\(q\in \Bbb{R}[x]\) tel que \(p = q(x-2) \). on a
\(d°(q)+d°(x-2)=d°(p) \le 2 \) donc \(d°(q) \le 1 \), et \(q\) est
de la forme \(q= \lambda + \mu x\) avec \(\lambda,\mu \in \Bbb{R}
\). On a alors \(p=\lambda(x-2) + \mu x(x-2) = \lambda u + \mu v \)
et on voit que \( \{ u,v\} \) est une famille génératrice de \(E\).
Par conséquet \( \{u,v\} \) est une base de \(E\) et \(dim(E) = 2
\).
Posons \(w = x^2 - 1 \in F\). si \(p\in F\) alors \(p\) est
divisible par \(x-1\) et \(x+1\) qui sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, \(p\) est divisible par \( (x-1)(x+1)=
w \). On a donc \(p = qw\), avec \(w \in \Bbb{R}[x] \). On a \( 2\ge
d°(p) = d°(q)+d°(w) = d°(q) + 2 \) donc \(d°(q)= 0 \) ou \(q=0\), et
le polynôme \(q\) est constant. Donc \(p=\lambda w \), avec
\(\lambda\in \Bbb{R} \), et \(F\) est le sous-espace vectoriel de
dimension 1 de \(\Bbb{R}_2 [x] \) engendré par \(w\).
On a \(E\oplus F \subset \Bbb{R}[x] \wp \), et \(dim(E\oplus F) =
dim(E+F) dim(E) + dim(F) - dim(E\cup F) = dim(E) + dim(F) = 3 =
dim(\Bbb{R}_2[x])\). Donc \(\Bbb{R}_2[x] = E\oplus F \).
III - Applications linéaires
On va maintenant introduire l'imporatante notion d'application linéaire.
Définition 1.3.1
soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un corps \(K\). On
dit qu'une application \(u: E\to F\) est
linéaire si les deux propriétés suivantes sont
vérifiées
1- \(u(x+y) = u(x) + u(y) \), \(\forall x\in E, \forall y\in F\).
2- \((\lambda x) = \lambda u(x) \), \(\forall x\in E, \forall
\lambda \in K\).
si \(u: E \to F\) est linéaire, on appelle
noyau de \(u\) l'ensemble \(Ker(u):= \{ x \in E
| u(x) = 0 \} \), et on appelle image de u
l'ensemble \(Im(u):= u(E) = \{u(x)\}_{x\in E} \).
Une application linéaire \(u: E\to E\) est appellée un
endomorphisme de \(E\).
Il est clair qu'une application \(u: E \to F\) est linéaire si et
seulement si la condition suivante est vérifiée \[(1.4) u(\lambda x
+ \mu y ) = \lambda u(x) + \mu u(y) , \forall x,y\in E, \forall
\lambda,\mu \in K \]. Si \(A, B, C\) sont trois ensembles et si
\(\phi: A\to B\) et \(\psi : B\to C \) sont deux application,
la composée \(\psi \circ \phi : A \to C\) est l'application définie par la
formule
\[(1.5) (\psi \circ \phi)(x) = \psi(\phi (x)) \forall x\in A. \].
On a alors le résuktat évident suivant:
Proposition 1.3.2
Soient \(E_1,\dots,E_k\) des espaces vectoriels sur un corps \(K\),
avec \(k\ge 3\), et pour \(1\le i\le k-1\) soit \(u_i : E_{i+1} \to E_i \), une
application linéaire. Alors l'application composée \(u_{k-1} \circ \ldots u_1 : E_k \to E_1 \)
est linéaire.
Propoqition 1.3.3
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un corps \(K\) et
soit \(u: E\to F\) une application linéaire.
(i) \(Ker(u) \) est un sous-espace vectoriel de \(E\), et \(Im(u) \) est un
sous-espace vectoriel de \(F\).
(ii) si \(E\) est de dimension finie, et si \(\mathfrak{B} = (e_1,\ldots),e_n \)
est un base de \(E\), alors \(u(\mathfrak{B}):= (u(e_1),\dots , u(e_n)) \) est
une famille génératrice de \(Im(u) \). De plus \(u(\mathfrak{B} ) \) est une
base de \(Im(u) \) si \(Ker(u) = \{0\} \).
Démonstration
(i) si \(x_1,x_2\in Ker(u)\), \(\lambda_1,\lambda_2 \in K\), on a
\(u(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda u(x_1) + \lambda_2 u(x_2) = 0 \),
donc \( \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \in Ker(u) \), et \(Ker(u) \) est un
sous-espace vectoriel de \(E\).
Soient maintenant \(y_1, y_2 \in Im(u) \) et \(\lambda_1,\lambda_2 \in K \). Il existe
\(x_1,x_2\in E\) telque \(u(x_1) = y_1, u(x_2) = y_2 \), et on a \(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 = \lambda_1 u(x_1)
+ \lambda_2 u(x_2) = u(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2)\in Im(u) \). Donc \(Im(u) \)
est un sous-espace vectoriel de \(F\).
(ii) Si \(E\) est de dimension finie, et si \(\mathfrak{B} = (e_1,\ldots,e_n) \) est un base de \(E\),
soit \(y\in Im(u) \). Il existe \(x\in E\) telque
\(u(x) = y Im(u) \). Il existe \(x\in E \) tel que
\(u(x) = y \), et il exste \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\)
tels que \(x = \sum-{k=1}{n} \alpha_{k}e_{k} \).
On a alors \(y = u(x) = u(\sum_{k=1}^{n} \alpha_k e_k) = \sum_{k=1}^{n}
\alpha_k u(e_k)\). Donc \(u(\Bbb{B})\) est une famille
génératrice de \(Im(u)\).
Si on suppose de plus que \(Ker(u) = \{0\} \), soient
\(\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in K \) tels que
\(\lambda_1 u(e_1) + \ldots + \lambda_n e_n = 0 \).
On a \(u(\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n)=\lambda_1u(e_1)+
\ldots+\lambda_nu(e_n)=0 \), donc \(\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n =0\).
Comme \(Ker(u)= \{0\} \), on obtient \(\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n =0\).
Comme \(\mathfrak{B} \) est libre, on a \(\lambda_k=0\) pour
\(1\le k\le n\), ce que prouve que \(u(\mathfrak{B} ) \) est libre,
et \(u(\mathfrak{B} ) \) est dans ce cas une base de \(Im(u) \).
Exelmple 1.3.4
1- L'application \(D : p \to p' \) est un endomorphisme de
\(\Bbb{C}_n[x]\) pour \(n\ge1\). Le noyau de \(D\) est l'espace
vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants, et
l'image de \(D\) est égale à \(\Bbb{C}_{n-1}[x] \).
2- Les homothéties vectorielles et les symétries vectorielles
sont des endomorphismes du plan vectoriel et de l'espace
vectoriel de dimension 3 vus au Lycée. Les rotations
vectorielles sont des endomorphismes du plan vectoriel
euclidien.
3- Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) et
soit \(\mathfrak{B} = (e_1,\ldots,e_p) \) une famille finie
d'éléments de \(E\). On note
\(F_{\mathfrak{B} } = \{ \lambda_1e_1 +\ldots + \lambda_p e_p \}_{(\lambda_1,\ldots, \lambda_{p})\in K^p } \)
l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de \(B\). Alors \(F_{\mathfrak{B} } \) est un sous-espace
vectoriel de \(E\), et \(F_{\mathfrak{B} } = Vect(\mathfrak{B} ) \) .
