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Espaces vectoriels, bases et applications linéaires
I
Indépendance linéaire, bases
Définition 1.1.1
Un espace vectoriel \(E\) sur un corps \(K\) est un groupe
abélien additif muni d'une loi de composition externe
\( (\lambda , x) \mapsto \lambda x \) de \(K \times E\) dans
\(E\), vérifiant les propriétés suivantes :
1. \( (\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x \) pour \(\forall x \in E, \forall \lambda,\mu \in K\).
2. \( \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \) pour \(\forall x,y \in E, \forall \lambda \in K\).
3. \( \lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x \) pour \(\forall x \in E, \forall \lambda,\mu \in K\).
4. \( 1.x = x \) pour \(\forall x \in E\).
On écrira \(\lambda x\) au lieu de \(\lambda.x\) lorsqu'il n'y a pas de confusion.
1. \( (\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x \) pour \(\forall x \in E, \forall \lambda,\mu \in K\).
2. \( \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \) pour \(\forall x,y \in E, \forall \lambda \in K\).
3. \( \lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x \) pour \(\forall x \in E, \forall \lambda,\mu \in K\).
4. \( 1.x = x \) pour \(\forall x \in E\).
On écrira \(\lambda x\) au lieu de \(\lambda.x\) lorsqu'il n'y a pas de confusion.
Définition 1.1.2
On dit qu'une partie non vide \(F\) d'un \(K\)-espace
vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel si :
1. \(x + y \in F\) pour \(\forall x,y \in F\).
2. \(\lambda x \in F\) pour \(\forall x \in F, \forall \lambda \in K\).
En particulier, pour qu'une partie non vide \(F\) de \(E\) soit un sous-espace vectoriel, il faut et il suffit que \(\lambda x + \mu y \in F\) pour \(\forall \lambda,\mu \in K, \forall x,y \in F\).
1. \(x + y \in F\) pour \(\forall x,y \in F\).
2. \(\lambda x \in F\) pour \(\forall x \in F, \forall \lambda \in K\).
En particulier, pour qu'une partie non vide \(F\) de \(E\) soit un sous-espace vectoriel, il faut et il suffit que \(\lambda x + \mu y \in F\) pour \(\forall \lambda,\mu \in K, \forall x,y \in F\).
Proposition 1.1.3
Soit \((E_i)_{i \in I}\) une famille quelconque de
sous-espaces vectoriels d'un
espace vectoriel \(E\). Alors
\( \cap_{i \in I} E_i \) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Corollaire 1.1.4
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) et soit
\(A\) une partie non vide de \(E\). L'intersection de tous les
sous-espaces vectoriels de \(E\) contenant \(A\) est appelée
le sous-espace vectoriel engendré par \(A\) et est notée
\(Vect(A)\).
Définition 1.1.5
1. Une famille \((e_1,\dots,e_k)\) d'éléments de \(E\) est
libre si
\( \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_k e_k = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \)
pour tout \(i\).
2. Elle est génératrice si tout \(x \in E\) s'écrit \(x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_k e_k\).
3. Elle est une base de \(E\) si elle est à la fois libre et génératrice.
2. Elle est génératrice si tout \(x \in E\) s'écrit \(x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_k e_k\).
3. Elle est une base de \(E\) si elle est à la fois libre et génératrice.
Théorème 1.1.6
Un espace vectoriel \(E \neq \{0\}\) est de dimension finie si
et seulement s'il possède une famille génératrice finie. Dans
ce cas, toutes les bases de \(E\) ont le même nombre
d'éléments, appelé la dimension de \(E\).
Si \(dim(E)=n\), toute famille génératrice a au moins \(n\) éléments et toute famille libre a au plus \(n\) éléments.
Si \(dim(E)=n\), toute famille génératrice a au moins \(n\) éléments et toute famille libre a au plus \(n\) éléments.
Corollaire 1.1.7
Si \(E\) est de dimension finie et \(F\) est un sous-espace
vectoriel de \(E\), alors \(F\) est aussi de dimension finie
et \(dim(F) \le dim(E)\). Si \(dim(F) = dim(E)\), alors
\(E = F\).
Démonstration
Si \(F = \{0\}\), il n'y a rien à démontrer. Sinon, toute
famille libre de \(F\) possède au plus \(n = dim(E)\)
éléments. En choisissant une famille libre maximale
\((e_1,\dots,e_p)\) dans \(F\), on montre qu'elle est aussi
génératrice de \(F\). C'est donc une base de \(F\), d'où
\(dim(F) = p \le n\).
Exemple 1.1.8
\(K^n\) muni des opérations usuelles est un \(K\)-espace
vectoriel de dimension \(n\), de base canonique
\((e_1,\dots,e_n)\).
L'espace \(K[x]\) des polynômes sur \(K\) est aussi un espace vectoriel, mais il n'est pas de dimension finie.
L'espace \(K[x]\) des polynômes sur \(K\) est aussi un espace vectoriel, mais il n'est pas de dimension finie.
II
Théorème de la dimension pour la somme de deux espaces vectoriels
Définition 1.2.1
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d'un espace
vectoriel \(E\). On pose \(F + G = \{x + y \mid x \in F, y \in G\}\).
Théorème 1.2.2
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de
dimension finie de \(E\), alors
\(dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F \cap G)\).
Lorsque \(F \cap G = \{0\}\), on dit que la somme est directe et l'on écrit \(F \oplus G\).
Lorsque \(F \cap G = \{0\}\), on dit que la somme est directe et l'on écrit \(F \oplus G\).
Exemple 1.2.3
Dans \(\Bbb{R}_2[X]\), on peut construire deux
sous-espaces vectoriels \(E\) et \(F\) tels que
\(\Bbb{R}_2[X] = E \oplus F\). Cet exemple illustre concrètement
la formule de la dimension pour une somme directe.
III
Applications linéaires
On introduit maintenant la notion fondamentale d'application linéaire.
Définition 1.3.1
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un corps
\(K\). Une application \(u : E \to F\) est linéaire si :
1. \(u(x + y) = u(x) + u(y)\) pour \(\forall x,y \in E\).
2. \(u(\lambda x) = \lambda u(x)\) pour \(\forall x \in E\), \(\forall \lambda \in K\).
On appelle noyau de \(u\) l'ensemble \(Ker(u)=\{x \in E \mid u(x)=0\}\), et image de \(u\) l'ensemble \(Im(u)=u(E)\).
1. \(u(x + y) = u(x) + u(y)\) pour \(\forall x,y \in E\).
2. \(u(\lambda x) = \lambda u(x)\) pour \(\forall x \in E\), \(\forall \lambda \in K\).
On appelle noyau de \(u\) l'ensemble \(Ker(u)=\{x \in E \mid u(x)=0\}\), et image de \(u\) l'ensemble \(Im(u)=u(E)\).
Proposition 1.3.2
La composée d'applications linéaires est encore une
application linéaire.
Proposition 1.3.3
Si \(u : E \to F\) est linéaire, alors \(Ker(u)\) est un
sous-espace vectoriel de \(E\) et \(Im(u)\) est un
sous-espace vectoriel de \(F\).
Si \(E\) est de dimension finie, l'image d'une base de \(E\) par \(u\) forme une famille génératrice de \(Im(u)\).
Si \(E\) est de dimension finie, l'image d'une base de \(E\) par \(u\) forme une famille génératrice de \(Im(u)\).
Démonstration
La stabilité du noyau et de l'image par combinaison linéaire
découle directement de la linéarité de \(u\). Quand \(E\) est
de dimension finie, tout vecteur de \(Im(u)\) s'écrit comme
image d'une combinaison linéaire des vecteurs d'une base de
\(E\), ce qui donne le caractère générateur de \(u(\mathfrak{B})\).
Exemple 1.3.4
L'application dérivation \(D : p \mapsto p'\) est un
endomorphisme de \(\Bbb{C}_n[x]\) pour \(n \ge 1\). Son noyau
est l'espace des polynômes constants et son image est
\(\Bbb{C}_{n-1}[x]\).